Modèle malthusien :
Soit \(P(t)\) la taille de la population à l'instant \(t\), \(P'(t)\) la variation de la taille de la population et \(P(0)=P_0\) la taille initiale de la population
Le nombre de naissances est proportionnel à \(P\), on note \(\alpha\) le taux de natalité
Le nombre de décès est proportionnel à \(P\), on note \(\beta\) le taux de mortalité
L'équation différentielle de ce modèle est donc : $$P'(t)=(\alpha-\beta) P(t)$$
La solution de cette équation différentielle est : $$P(t)=P_0e^{(\alpha-\beta)t}$$
(Equation différentielle linéaire du premier ordre)
Modèle malthusien discret :
On a une suite d'instants \((t_n)_{n\geqslant0}\) et un pas de temps constant \(\Delta t\) tel que \(\forall n\in{\Bbb N},t_n=n\Delta t\)
On note \(p_n\) la taille de la population à l'instant \(t_n\)
On a : $$p_{n+1}-p_n={{(\alpha-\beta)\Delta tp_n= a\Delta tp_n}}$$
La solution de cette équation est : $$p_n={{(1+a\Delta t)^nP_0}}$$
Erreur entre le modèle malthusien continu et discret : $$\varepsilon(\Delta t)={{\max_{0\leqslant n\leqslant N_T}\lvert P(t_n)-p_n\rvert=\max_{0\leqslant n\leqslant N_T}\left|1-e^{n(\log(1+a\Delta t)-a\Delta t)}\right|}}\leqslant {{P_0 e^{aT\frac{a^2T}2}\Delta t}}$$ pour \(0\leqslant t_n\leqslant T\) (soit \(n\leqslant N_T\))
Le modèle malthusien ne prend pas en compte les limites physiques de l'espace vital ou des ressources vitales
\(\longrightarrow\) Modèle de croissance logistique